Dilatación del tiempo

Es posible ilustrar que observadores en diferentes marcos inerciales pueden medir diferentes intervalos entre un par de eventos al considerar un vehículo que se mueve hacia la derecha con una velocidad v, como en la figura a. 

Un espejo se fija al techo del vehículo y un observador O’ en reposo en este sistema sostiene un láser a un distancia d abajo del espejo. En algún instante, el láser emite una luz dirigida hacia el espejo (evento 1) y cierto tiempo después, luego de reflejarse en el espejo, el pulso llega de vuelta al láser (evento 2). El observador O’ porta un reloj y lo usa para medir el tiempo Δtp entre esos dos eventos, que él ve que ocurren en el mismo lugar. (El subíndice p significa propio, como verá dentro de un momento.) Puesto que el pulso de luz tiene una velocidad c, el tiempo que tarda en viajar del punto A al espejo y de vuelta al punto A es 

Δtp = distancia recorridavelocidad= 2dc  [26.1]

El tiempo Δtp medido por O’ requiere un solo reloj ubicado en el mismo lugar que el láser

en este marco.

Ahora considere el mismo conjunto de eventos como los ve O en un segundo marco,

como se muestra en la figura activa 26.6b. De acuerdo con este observador, el espejo y el láser se mueven hacia la derecha con una velocidad v y, como resultado, la secuencia de eventos parece diferente. Para cuando la luz del láser llega al espejo, el espejo se movió hacia la derecha una distancia vΔt/2, donde Δt es el tiempo que tarda el pulso de luz en viajar desde el punto A hasta el espejo y de vuelta al punto A, según mide O. En otras palabras, O concluye que, debido al movimiento del vehículo, si la luz golpea el espejo, debe salir del láser a un ángulo con respecto a la dirección vertical. Al comparar las figuras activas 26.6a y 26.6b, se ve que la luz debe recorrer más en b) que en a). (Observe que ningún observador “sabe” que se mueve. Cada uno está en reposo en su propio marco inercial.)

De acuerdo con el segundo postulado de la teoría de la relatividad especial, ambos

observadores deben medir c para la velocidad de la luz. Puesto que la luz viaja más lejos

en el marco de O, tenemos que el tiempo Δt medido por O es mayor que el intervalo

Δtp medido por O’. Para obtener una relación entre estos dos tiempos, es conveniente

examinar el triángulo rectángulo que se muestra en la figura activa 26.6c. El teorema de

Pitágoras da

(cΔt2)2 = (vΔt2)2 + d2

Al resolver para Δt se obtiene

Δt = 2dc2´- v2 =  2dc 1 - v2/c2

Puesto que Δtp = 2d/c, este resultado se puede expresar como

Δt = Δtpc 1 - v2/c2= 𝛄 Δtp

donde

𝛄 = 1c 1 - v2/c2

Puesto que 𝛄 siempre es mayor que 1, la ecuación 26.2 indica que el intervalo Δt entre dos |eventos medidos por un observador que se mueve con respecto a un reloj es mayor que el intervalo Δtp entre los mismos dos eventos medidos por un observador en reposo con respecto al reloj. En consecuencia, Δt > Δtp, y el tiempo propio se expande o dilata por el factor 𝛄. Por lo tanto, este efecto se conoce como dilatación del tiempo.

Por ejemplo, suponga que el observador en reposo con respecto al reloj mide el tiempo requerido para que el destello de luz salga del láser y regrese. Suponga que el tiempo medido en este marco de referencia, Δtp, es 1 s. (Esto requeriría un vehículo muy alto.)

Ahora encuentre el intervalo medido por el observador O que se mueve con respecto al

mismo reloj. Si el observador O viaja a la mitad de la velocidad de la luz (v 5 0.500c),

entonces 𝛄 = 1.15 y, de acuerdo con la ecuación 26.2, Δt = 𝛄 Δtp = 1.15(1.00 s) = 1.15 s.

Por lo tanto, cuando el observador O’ afirma que ha transcurrido 1.00 s, el observador O

afirma que transcurrió 1.15 s. El observador O considera que el reloj de O’ lee un valor

muy bajo para el tiempo transcurrido entre los dos eventos y dice que el reloj de O’ “corre

lento”. A partir de este fenómeno, se puede concluir lo siguiente:

Un reloj que pasa junto a un observador con velocidad v funciona más lentamente

que un reloj idéntico en reposo con respecto al observador por un factor de g-1

.

El intervalo Δtp en las ecuaciones 26.1 y 26.2 se llama tiempo propio. En general, el

tiempo propio es el intervalo entre dos eventos según mide un observador quien ve que

los eventos ocurren en la misma posición.

Aunque es posible que ya se haya dado cuenta, es importante manifestar que la relatividad es una democracia científica: la visión de O’ de que O es quién en realidad se mueve con velocidad v hacia la izquierda y que el reloj de O funciona más lentamente, es tan válida como la visión de O. El principio de relatividad requiere que las visiones de los dos observadores en movimiento relativo uniforme es igualmente válido y capaz de comprobarse experimentalmente.

Se ha visto que los relojes en movimiento corren más lentamente por un factor de 𝛄-1.Esto es cierto para relojes mecánicos ordinarios así como para el reloj de luz recién descrito. De hecho, estos resultados se pueden generalizar al afirmar que todos los procesos físicos, incluidos los químicos y biológicos, disminuyen su velocidad en relación con un reloj cuando dichos procesos ocurren en un marco que se mueve con respecto al reloj. Por ejemplo, el latido cardiaco de un astronauta que se mueve a través del espacio mantendría su ritmo con un reloj dentro de la nave espacial. Tanto el reloj como el latido cardiaco del astronauta correrían más lentos en relación con un reloj asentado sobre la Tierra (aunque el astronauta no tendría sensación de vivir más lentamente en la nave espacial).

La dilatación del tiempo es un fenómeno muy real que se ha verificado mediante varios

experimentos que involucran el tictac de los relojes naturales. Un ejemplo interesante de

dilatación del tiempo involucra la observación de muones, partículas elementales inestables

que son muy similares a electrones y tienen la misma carga, pero 207 veces su masa. Los

muones pueden producirse mediante la colisión de radiación cósmica con átomos en la parte superior de la atmósfera. Estas partículas tienen vidas de 2.2 ms cuando se miden en

un marco de referencia en reposo con respecto a ellos. Si considera 2.2 ms como la vida promedio de un muón y supone que su velocidad es cercana a la de la luz, descubre que estas partículas pueden viajar solamente alrededor de 600 m antes de decaer (figura 26.7a).

En consecuencia, nunca podrían llegar a la Tierra desde la atmósfera superior donde se

producen. Sin embargo, los experimentos muestran que un gran número de muones sí

llegan a la Tierra y el fenómeno de dilatación del tiempo explica cómo. En relación con

un observador en la Tierra, los muones tienen una vida igual a 𝛄tp, donde tp 5 2.2 ms es la

vida en un marco de referencia que viaja con los muones. Por ejemplo, para v 5 0.99c,

𝛄 ≌ 7.1 y 𝛄tp ≌ 16 ms. Por lo tanto, la distancia promedio que recorren los muones, medida por un observador en la Tierra, es 𝛄vtp ≌ 4 800 m, como se indica en la figura 26.7b. En consecuencia, los muones pueden llegar a la superficie de la Tierra.

En 1976 se realizaron experimentos con muones en el laboratorio del Consejo Europeo

para la Investigación Nuclear (CERN) en Ginebra. En un gran anillo de almacenamiento se inyectaron muones, que alcanzaron velocidades de aproximadamente 0.999 4c. Los electrones producidos por los muones en decaimiento se detectaron en contadores alrededor del anillo, lo que permitió a los científicos medir la razón de decaimiento y, por ende, la vida de los muones. La vida de los muones en movimiento se midió en aproximadamente 30 veces las de los muones estacionarios hasta dentro de dos partes en mil, en concordancia con la predicción de la relatividad.